Question

【題目】如圖，某廣場設計的一建筑物造型的縱截面是拋物線的一部分，拋物線的頂點O落在水平面上，對稱軸是水平線OC．點A、B在拋物線造型上，且點A到水平面的距離AC=4米，點B到水平面距離為2米，OC=8米．

（1）請建立適當的直角坐標系，求拋物線的函數解析式；

（2）為了安全美觀，現需在水平線OC上找一點P，用質地、規格已確定的圓形鋼管制作兩根支柱PA、PB對拋物線造型進行支撐加固，那么怎樣才能找到兩根支柱用料最省（支柱與地面、造型對接方式的用料多少問題暫不考慮）時的點P？（無需證明）

（3）為了施工方便，現需計算出點O、P之間的距離，那么兩根支柱用料最省時點O、P之間的距離是多少？（不寫求解過程）

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數解析式為：y=x2；

（2）找法見解析

（3）兩根支柱用料最省時，點O、P之間的距離是4米．

【解析】

（1）根據題意可以建立合適的平面直角坐標系，從而可以求得拋物線的解析式；

（2）根據兩點之間線段最多，作出相應的圖形，寫出作法即可；

（3）根據前面的坐標系和拋物線解析式可以求得點B的坐標，再根據三角形相似可以求得兩根支柱用料最省時點O、P之間的距離，注意此處只寫出答案即可．

解：（1）如圖，

以點O為原點、射線OC為y軸的正半軸建立直角坐標系，

設拋物線的函數解析式為y=ax2，

由題意知點A的坐標為（4，8）．

∵點A在拋物線上，

∴8=a×42，

解得a=，

∴所求拋物線的函數解析式為：y=x2；

（2）找法：

延長AC，交建筑物造型所在拋物線于點D，

則點A、D關于OC對稱．

連接BD交OC于點P，則點P即為所求．

（3）如上圖，由題意知點B的橫坐標為2，

∵點B在拋物線上，

∴點B的坐標為（2，2），

又∵點A的坐標為（4，8），

∴點D的坐標為（﹣4，8），

設直線BD的函數解析式為y=kx+b，

∴，

解得：k=﹣1，b=4．

∴直線BD的函數解析式為y=﹣x+4，

把x=0代入y=﹣x+4，得點P的坐標為（0，4），

兩根支柱用料最省時，點O、P之間的距離是4米．