Question

已知關于x的方程x²-6x-m²+2m+5=0．
（1）試說明m取任何實數時，此方程一定有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩實數根為x₁、x₂，若

1

x1

+

1

x2

=-2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）只要證明判別式總大于0即可；
（2）根據

1

x1

+

1

x2

=

x2+x1

x1•x2

=-2，利用一元二次方程根與系數的關系求得兩根的積和兩根的和，代入即可得到關于m的方程，即可求得m的值．

解答：解：（1）△=36-4（-m²+2m+5）
=4m²-8m+16
=4（m-1）²+12
∵4（m-1）²+12＞0，
∴△＞0．
∴不論m取何值，此方程一定有兩個不相等的實數根．
（2）∵

1

x1

+

1

x2

=-2，
∴

x2+x1

x1•x2

=-2，
∴6=-2（-m²+2m+5），
∴m²-2m-8=0，
∴m₁=4，m₂=-2．

點評：解答此題需要將原題轉化為根的判別式和根與系數的關系來解答，體現了轉化思想在解題時的應用．