Question

如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P    ，使PA+PB最小．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的乘積為函數(shù)的系數(shù)和△OAM的面積為1可得k=2，即反比例函數(shù)的解析式為．要使PA+PB最小，需作出A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連接BC，交x軸于點(diǎn)P，P為所求點(diǎn)．A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C（2，-1），而B為（1，2），故BC的解析式為y=-3x+5，當(dāng)y=0時(shí)，，即可得出答案．
解答：解：設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），則，
∴ab=k，
∵，
∴
∴k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為．
根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
聯(lián)立得，
解得，
∴A為（2，1），
設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-1）．
令直線BC的解析式為y=mx+n
∵B為（1，2），
將B和C的坐標(biāo)代入得：，
解得：
∴BC的解析式為y=-3x+5，
當(dāng)y=0時(shí)，，
∴P點(diǎn)為（，0）．
故答案為：（，0）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、軸對(duì)稱等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．有點(diǎn)難度．