Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣2，0）與點C（8，0）兩點，與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D．

（1）直接寫出B點的坐標；

（2）求該二次函數的解析式；

（3）若點P（m，n）是該二次函數圖象上的一個動點（其中m＞0，n＜0），連結PB，PD，BD，AB．請問是否存在點P，使得△BDP的面積恰好等于△ADB的面積？若存在請求出此時點P的坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0，﹣4）；（2）y＝x2﹣x﹣4；（3）存在，（，-）

【解析】

（1）利用待定系數法求拋物線的解析式，再確定B（0，﹣4）；

（2）利用（1）可以得到答案；

（3）連接OP，如圖，設P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜8），利用S△PBD＝S△POD+S△POB﹣S△BOD＝×3×（﹣m2+m+4）+×4×m﹣×3×4＝×5×4得到關于m的方程，然后解方程求出m即可得到P點坐標．

解：（1）把A（﹣2，0）和C（8，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣4；

當x＝0時，y＝x2﹣x﹣4＝﹣4，則B（0，﹣4），

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣4；

（3）存在．

∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣3）2﹣，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，

∴D（3，0）．

由（1）知， `B（0，﹣4）．

連接OP，如圖，設P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜8），

∵S△PBD＝S△POD+S△POB﹣S△BOD，S△ABD＝×5×4＝10，

而△BDP的面積恰好等于△ADB的面積，

∴×3×（﹣m2+m+4）+×4×m﹣×3×4＝×5×4，

整理得3m2﹣34m+80＝0，解得m1＝，m2＝8（舍去），

∴P點坐標為（，-）．