Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2x+3k=0有實(shí)數(shù)根，
（1）求k的取值范圍；
（2）設(shè)x₁，x₂為方程的兩實(shí)數(shù)根，求y=x₁•x₂+5的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件，得到根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，從而求出k的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，先表示出x₁•x₂，再代入y，得到用含k的代數(shù)式表示y的形式，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²+2x+3k=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=4-12k≥0，
解之得k≤

1

3

；
（2）∵x₁，x₂為方程的兩實(shí)數(shù)根，
∴x₁•x₂=3k，
∴y=3k+5，
∴y隨k的增大而增大．
又∵k≤

1

3

，
∴當(dāng)k取最大值

1

3

時(shí)，y有最大值，
此時(shí)y=3×

1

3

+5=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系及一次函數(shù)的性質(zhì)．屬于基礎(chǔ)題型，比較簡(jiǎn)單．
一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，那么x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)：（1）k＞0，y隨x的增大而增大；（2）k＜0，y隨x的增大而減小．