Question

【題目】已知函數f（x）=Acos2（x+φ）+1（A＞0，＞0，0＜φ＜ ）的最大值為3，f（x）的圖象與y軸的交點坐標為（0，2），其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值為（ ）
A.2468
B.3501
C.4032
D.5739

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函數f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A +1 = cos（2ωx+2φ）+1+ （A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的最大值為3，
∴ +1+ =3，可求：A=2．
∵函數圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為2，可得函數的最小正周期為4，即： =4，
∴解得：ω= ．
又∵f（x）的圖象與y軸的交點坐標為（0，2），可得：cos（2φ）+1+1=2，
∴cos2φ=0，2φ= ，解得：φ= ．
∴函數的解析式為：f（x）=cos（ x+ ）+2=﹣sin x+2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=﹣（sin +sin +sin +…+sin ）+2×2016
=504×0+4032=4032．
故選：C．
由條件利用二倍角的余弦公式可得f（x）= cos（2ωx+2φ）+1+ ，由函數的最值求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數的解析式，再利用函數的周期性求得所求式子的值．