Question

【題目】如圖，拋物線經過點A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三點，頂點為D，設點E(x，y)是拋物線上一動點，且在x軸下方．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點E(x，y)運動時，試求三角形OEB的面積S與x之間的函數關系式，并求出面積S的最大值？

（3）在y軸上確定一點M，使點M到D、B兩點距離之和d＝MD+MB最小，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+；（2）S＝﹣（x﹣3）2+（1＜x＜5），當x＝3時，S有最大值；（3）(0，﹣)

【解析】

（1）設出解析式，由待定系數法可得出結論；

（2）點E在拋物線上，用x去表示y，結合三角形面積公式即可得出三角形OEB的面積S與x之間的函數關系式，再由E點在x軸下方，得出1＜x＜5，將三角形OEB的面積S與x之間的函數關系式配方，即可得出最值；

（3）找出D點關于y軸對稱的對稱點D′，結合三角形內兩邊之和大于第三邊，即可確定當MD+MB最小時M點的坐標．

解：（1）設拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，則

，解得：．

故拋物線解析式為y＝x2﹣4x+．

（2）過點E作EF⊥x軸，垂足為點F，如圖1所示．

E點坐標為(x，x2﹣4x+)，F點的坐標為(x，0)，

∴EF＝0﹣(x2﹣4x+)＝﹣x2+4x﹣．

∵點E（x，y）是拋物線上一動點，且在x軸下方，

∴1＜x＜5．

三角形OEB的面積S＝OBEF＝×5×(﹣x2+4x﹣)＝﹣(x﹣3)2+(1＜x＜5＝．

當x＝3時，S有最大值．

（3）作點D關于y軸的對稱點D′，連接BD′，如圖2所示．

∵拋物線解析式為y＝x2﹣4x+＝(x﹣3)2﹣，

∴D點的坐標為(3，﹣)，

∴D′點的坐標為(﹣3，﹣)．

由對稱的特性可知，MD＝MD′，

∴MB+MD＝MB+MD′，

當B、M、D′三點共線時，MB+MD′最小．

設直線BD′的解析式為y＝kx+b，則

，解得：，

∴直線BD′的解析式為y＝x﹣．

當x＝0時，y＝﹣，

∴點M的坐標為(0，﹣)．