Question

半徑為2cm的與⊙O邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側，⊙O與l相切于點F，DC在l上．
（1）過點B作的一條切線BE，E為切點．
①填空：如圖1，當點A在⊙O上時，∠EBA的度數是______；
②如圖2，當E，A，D三點在同一直線上時，求線段OA的長；
（2）以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動正方形（圖3），至邊BC與OF重合時結束移動，M，N分別是邊BC，AD與⊙O的公共點，求扇形MON的面積的范圍．

Answer 1

解：（1）①∵半徑為2cm的與⊙O邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側，當點A在⊙O上時，過點B作的一條切線BE，E為切點，
∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，
∴∠EBA的度數是：30°；

②如圖2，
∵直線l與⊙O相切于點F，
∴∠OFD=90°，
∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，
∴OF∥AD，
∵OF=AD=2，
∴四邊形OFDA為平行四邊形，
∵∠OFD=90°，
∴平行四邊形OFDA為矩形，
∴DA⊥AO，
∵正方形ABCD中，DA⊥AB，
∴O，A，B三點在同一條直線上；
∴EA⊥OB，
∵∠OEB=∠OAE，
∴△EOA∽△BOE，
∴=，
∴OE²=OA•OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得：OA=-1±，
∵OA＞0，∴OA=-1；
方法二：
在Rt△OAE中，cos∠EOA==，
在Rt△EOB中，cos∠EOB==，
∴=，
解得：OA=-1±，
∵OA＞0，∴OA=-1；
方法三：
∵OE⊥EB，EA⊥OB，
∴由射影定理，得OE²=OA•OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得：OA=-1±，
∵OA＞0，
∴OA=-1；

（2）如圖3，設∠MON=n°，S_扇形MON=×2²=n（cm²），
S隨n的增大而增大，∠MON取最大值時，S_扇形MON最大，
當∠MON取最小值時，S_扇形MON最小，
過O點作OK⊥MN于K，
∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，
在Rt△ONK中，sin∠NOK==，
∴∠NOK隨NK的增大而增大，∴∠MON隨MN的增大而增大，
∴當MN最大時∠MON最大，當MN最小時∠MON最小，
①當N，M，A分別與D，B，O重合時，MN最大，MN=BD，
∠MON=∠BOD=90°，S_{扇形MON最大}=π（cm²），
②當MN=DC=2時，MN最小，
∴ON=MN=OM，
∴∠NOM=60°，
S_{扇形MON最小}=π（cm²），
∴π≤S_扇形MON≤π．
故答案為：30°．
分析：（1）①根據切線的性質以及直角三角形的性質得出∠EBA的度數即可；
②利用切線的性質以及矩形的性質和相似三角形的判定和性質得出=，進而求出OA即可；
（2）設∠MON=n°，得出S_扇形MON=×2²=n進而利用函數增減性分析①當N，M，A分別與D，B，O重合時，MN最大，②當MN=DC=2時，MN最小，分別求出即可．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的判定與性質和函數增減性等知識，得出扇形MON的面積的最大值與最小值是解題關鍵．