Question

【題目】如圖，直線y=2x﹣2分別與x軸、y軸相交于M，N兩點，并且與雙曲線y=（k＞0）相交于A，B兩點，過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，AC與BD的延長線交于點E（m，n）．

（1）求證：；

（2）若，求＞2x﹣2的x的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，P為雙曲線上一點，以O(shè)B，OP為鄰邊作平行四邊形，且平行四邊形的周長最小，求第四個頂點Q的坐標．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、x＜﹣1或0＜x＜2；(3)、P（2，2）或（﹣2，﹣2），Q（1，﹣2）或（﹣3，﹣6）．

【解析】

試題分析：(1)、設(shè)A（x1，），B（x2，），則有AE=x1﹣x2，BE=﹣，EC=﹣x2，ED=，首先證明=，由此即可解決問題．(2)、由DM∥AE，得==，設(shè)A（m，n）則B（﹣，﹣2n），把A、B代入y=2x﹣2得到：，解得：，求出A、B兩點坐標即可解決問題．(3)、因為點B是定點，OB是定長，所以要求平行四邊形OBPQ的周長的最小值只需要求出OP的最小值即可，由P在y=上，設(shè)P（a，），因為OP2=n2+=（n﹣）2+8，所以當n﹣=0時，OP2的值最小，由此即可解決問題．

試題解析：(1)、設(shè)A（x1，），B（x2，），則有AE=x1﹣x2，BE=﹣，EC=﹣x2，ED=，

∴=， ∴=．

(2)、∵DM∥AE， ∴， ∴A（m，n）則B（﹣，﹣2n），

把A、B代入y=2x﹣2得到， 解得， ∴A（2，2），B（﹣1，﹣4），

由圖象可知，＞2x﹣2時，x＜﹣1或0＜x＜2．

(3)、由（2）可知反比例函數(shù)解析式為y=，A（2，2），B（1，﹣4）， ∵四邊形OBPQ是平行四邊形，

∴OB=PQ，PO=BQ， ∵點B是定點，∴OB是定長， ∴要求平行四邊形OBPQ的周長的最小值只需要求出OP的最小值即可， ∵P在y=上，設(shè)P（a，）， ∴OP2=n2+=（n﹣）2+8，

∴當n﹣=0時，OP2的值最小， ∴n=±2時，OP有最小值， ∴P（2，2）或（﹣2，﹣2），Q（1，﹣2）或（﹣3，﹣6）．