Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=120°，AC=，BC=2，D、E是線段AB上兩點且△CDE為等邊三角形．
（1）求線段AD的長；
（2）求△CDB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為△CDE是等邊三角形，所以∠CDE=∠CED=60°，可得出∠ADC=∠BEC=120°．則△ACD∽△ABC∽△BCE．因此得相關線段之間的關系，根據勾股定理求解．
（2）根據（1）中所得數據，代入面積公式計算．
解答：解：（1）作CF⊥AB于F點．
∵△CDE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=∠ACB=120°．
在△ACD和△ABC中，
∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴．
設AD=x，
∵AC=，BC=2，
∴CD=2x．
同理，BE=4x．
∵△ADE為等邊三角形，CF⊥AB，
∴DF=DE=CD=x，CF=x，AF=2x．
在Rt△ACF中，AC=，則（2x）²+（x）²=（）²
∴x=1．（-1舍去）
即AD=1．

（2）由（1）得BD=2+4=6．
S_△CDB=×6×=3．
點評：此題考查了相似三角形的性質、勾股定理、三角形的面積計算等知識點．把相關線段轉換到直角三角形中是關鍵．