Question

【題目】如圖，設D為銳角△ABC內一點，∠ADB=∠ACB+90°，過點B作BE⊥BD，BE=BD，連接EC．

（1）求∠CAD+∠CBD的度數；

（2）若，

①求證：△ACD∽△BCE；

②求的值．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）①見解析；②

【解析】

（1）根據三角形外角的性質進行解答即可；

（2）①根據兩邊成比例且夾角相等即可證明△ACD∽△BCE；

②先根據等腰直角三角形的性質得：，證明△ACB∽△DCE，得，代入所求的式子可得結論.

（1）解：如圖1，延長CD交AB于F，

∵∠ADF＝∠CAD+∠ACD，∠BDF＝∠CBD+∠BCD，

∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝∠CAD+∠CBD+∠ACB，

∵∠ADB＝∠ACB+90°．

∴∠CAD+∠CBD＝90°；

（2）①證明：如圖2，∵∠CAD+∠CBD＝90°，∠CBD+∠CBE＝90°，

∴∠CAD＝∠CBE，

∵ACBD＝ADBC，BE=BD,

∴，

∴△ACD∽△BCE；

②解：如圖2，連接DE，

∵BE⊥BD，BE＝BD，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴

∵△ACD∽△BCE，

∴∠ACD＝∠BCE，,

∴∠ACB＝∠DCE，

∴△ACB∽△DCE，

∴，

∴