Question

（2012•大慶）如圖所示，△ABC中，E、F、D分別是邊AB、AC、BC上的點，且滿足

AE

EB

=

AF

FC

=

1

2

，則△EFD與△ABC的面積比為（　　）

• A．

  1

  9

• B．

  2

  9

• C．

  1

  3

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：先設△AEF的高是h，△ABC的高是h′，由于

AE

EB

=

AF

FC

=

1

2

，根據比例性質易得

AE

AB

=

AF

AC

=

1

3

，而∠A=∠A，易證△AEF∽△ABC，從而易得h′=3h，那么△DEF的高就是2h，再設△AEF的面積是s，EF=a，由于相似三角形的面積比等于相似比的平方，那么S_△AEF：S_△ABC=1：9，于是S_△ABC=9s，根據三角形面積公式易求S_△DEF=2s，從而易求S_△DEF：S_△ABC的值．

解答：解：設△AEF的高是h，△ABC的高是h′，
∵

AE

EB

=

AF

FC

=

1

2

，
∴

AE

AB

=

AF

AC

=

1

3

，
又∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴

h

h′

=

1

3

，S_△AEF：S_△ABC=1：9，
∴h′=3h，
∴△DEF的高=2h，
設△AEF的面積是s，EF=a，
∴S_△ABC=9s，
∵S_△DEF=

1

2

•EF•2h=ah=2s，
∴S_△DEF：S_△ABC=2：9．
故選B．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是先證明△AEF∽△ABC，并注意相似三角形高的比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方．