Question

4．兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點重合在點O處，AB=25，CD=17．保持紙片AOB不動，將紙片COD繞點O逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）角度，如圖2所示．
（1）利用圖2證明AC=BD且AC⊥BD；
（2）當BD與CD在同一直線上（如圖3）時，求AC的長和α的正弦值．

Answer 1

分析 （1）如圖2中，延長BD交OA于G，交AC于E，只要證明△AOC≌△BOD即可解決問題．
（2）如圖3中，設AC=x，在RT△ABC中，利用勾股定理求出x，再根據sinα=sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖2中，延長BD交OA于G，交AC于E．

∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠DOB，
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，
∵∠DBO+∠GOB=90°，
∵∠OGB=∠AGE，
∴∠CAO+∠AGE=90°，
∴∠AEG=90°，
∴BD⊥AC．

（2）解：如圖3中，設AC=x，

∵BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC²+BC²=AB²，
∴x²+（x+17）²=25²，
解得x=7，
∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°，∠ABC+∠DBO=45°，
∴∠α=∠ABC，
∴sinα=sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{7}{25}$．

點評 本題考查旋轉的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質解決問題，第二個問題的關鍵是利用（1）的結論解決問題，屬于中考常考題型．