Question

E、F分別是∠AOB的兩邊OA、OB上的點，且OE=OF，OA=OB，AE、BF交于P．求證：OP平分∠AOB．（用兩種方法）

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：①先根據SAS證明△OAF≌△OBE，得出對應角相等，再根據AAS證明△APE≌△BPF，得出對應邊相等，最后根據SSS證明△AOP≌△BOP，即可得出結論；
②先證明OP垂直平分AB，再根據等腰三角形的三線合一性質即可得出結論．

解答： ①證明：在△OAF和△OBE中，

OF=OE   ∠AOF=∠BOE   OA=OB

，
∴△OAF≌△OBE（SAS），
∴∠OAF=∠OBE，
∵OE=OF，OA=OB，
∴AE=BF，
在△APE和△BPF中，

∠OAF=∠OBE   ∠APE=∠BPF   AE=BF

，
∴△APE≌△BPF（AAS），
∴PA=PB，
在△AOP和△BOP中，

OA=OB   PA=PB   OP=OP

，
∴△AOP≌△BOP（SSS），
∴∠AOP=∠BOP，
∴OP平分∠AOB；
②證明：∵OA=OB，
∴O在AB的垂直平分線上，
由①得，PA=PB，
∴P在AB的垂直平分線上，
∴OP垂直平分AB，
∵OA=OB，
∴OP平分∠AOB（三線合一）．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質以及線段垂直平分線的判定；證明三角形全等是解決問題的關鍵．