Question

如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點D為劣弧

AC

上一點，弦ED交⊙O于點E，交AB于點H，交AC于點F，過點C的切線交ED的延長線于點P．若PC=PF，求證：AB⊥ED．

Answer 1

分析：作輔助線，連接OC．根據切線的性質，OC⊥PC．根據PC=PF，OC=OA，可得：∠PCF=∠PFC，∠OCF=∠OAC．在Rt△FHA中，可得：∠FHA=90°，故AB⊥ED．

解答：證明：連接OC，
∵PC為⊙O的切線，
∴∠OCP=∠FCP+∠OCF=90°，
∵PC=PF，
∴∠PCF=∠PFC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠CFP=∠AFH，
∴∠AFH+∠OAC=90°，
∴∠AHF=90°，
即：AB⊥ED．

點評：本題主要考查切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．