Question

如圖，AB是⊙O的弦，D是半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于F，且CE=CB。

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半徑。

Answer 1

(1)見解析；（2）30 °（3）.

試題分析：（1）連接OB，有圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC=90°即可證明BC是⊙O的切線；
（2）連接OF，AF，BF，首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對的圓周角是所對圓心角的一半即可求出∠ABF的度數；
（3）過點C作CG⊥BE于點G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的長，進而求出⊙O的半徑．
試題解析：
（1）證明：連接OB
∵OB=OA，CE=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC
又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB="90" °
∴∠OBA+∠ABC="90" °
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切線．

（2）連接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴△OAF是等邊三角形，
∴∠AOF="60" °
∴∠ABF=∠AOF="30" °

（3）過點C作CG⊥BE于點G，由CE=CB，
∴EG=BE=5
又Rt△ADE∽Rt△CGE
∴sin∠ECG=sin∠A=，
∴CE==13
∴CG==12，
又CD=15，CE=13，
∴DE=2，
由Rt△ADE∽Rt△CGE得
∴AD==
∴⊙O的半徑為2AD=．