Question

如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O與AC交于點D，過D作DF⊥BC，交AB的延長線于E，垂足為F．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）當AB=5，AC=8時，求cos∠E的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接圓心和切點，利用平行，OF⊥CB可證得∠ODF=90°；
（2）把∠E在相應的直角三角形中進行轉移，求出其鄰邊與斜邊即可．
解答：（1）證明：如圖，連接OD，BD（1分）
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠90°，
∴BD⊥AC；（2分）
∵AB=BC，
∴AD=DC；（3分）
∵OA=OB，
∴OD∥BC，（5分）
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD．
∴直線DE是⊙O的切線．

（2）解：作DH⊥AB，垂足為H，則∠EDH+∠E=90°，
又DE⊥OD，
∴∠ODH+∠EDH=90°．
∴∠E=∠ODH．
∵AD=DC，AC=8，
∴AD=4．
在Rt△ADB中，BD==3，
由三角形面積公式得：AB•DH=DA•DB．
即5•DH=3×4，DH=．
在Rt△ODH中，cos∠ODH==，
∴cos∠E=．
點評：當題中已有垂直時，證直線為圓的切線，通常選用平行來進行證明；而求相關角的余弦值，應根據所給條件進行適當轉移，注意利用直角三角形面積的不同方式求解．