Question

如圖，PA⊥OA于點A，PB⊥OB于點B，PA=PB，連接OA，OB，OP．
（1）求證：△AOP≌△BOP；
（2）設AC=a，BD=b，且a≠b，a與b滿足a²-10a+22=0，b²-10b+22=0，
①求AC+BD的值．
②若AP=20，CD=10，問△PCD的周長為______，即△PCD的周長=______AP；　　
（3）過O作OC，OD分別交AP，BP于C，D兩點，連接CD，若△PCD周長為2AP，求證：OD平分∠BDC．

Answer 1

（1）證明：在Rt△AOP和Rt△BOP中，
∵，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）；

（2）解：∵AC=a，BD=b，且a≠b，a與b滿足a²-10a+22=0，b²-10b+22=0，
∴a，b是方程x²-10x+22=0的兩根，
∴a+b=AC+BD=10，
則AC+BD的值為10；
②∵AP=20，CD=10，AC+BD=10，
∴AC+BD=CD，
∴PC+CD+PD=PA+PB=20+20=40，
∴△PCD的周長=2AP，
故答案為：40，2．

（3）證明：
延長射線PA到F使AF=BD，過O作OE⊥CD，
∵在△OAF和△OBD中，
，
∴△OAF≌△OBD（SAS）；
∴OF=OD；
∵△PCD的周長為=2AP，
∴△PCD的周長為=PA+PB=PC+PD+AC+BD=PC+PD+CD；
∴CD=AC+BD，
∵AF=BD，
∴CF=CD；
在△COF和△COD中，
，
∴△OFC≌△OCD（SSS）；
∴CF和CD邊上所對應的高也應該相等．
∴OE=OA，
∵AO=BO，
∴BO=EO，
在Rt△OBD和Rt△OED中，
，
∴Rt△OBD≌Rt△OED（HL），
∴∠ODB=∠ODC，
即：OD平分∠BDC．
分析：（1）利用HL定理求出Rt△AOP≌Rt△BOP即可；
（2）①由已知得出a，b是方程x²-10x+22=0的兩根，再利用根與系數關系得出a+b=AC+BD=10即可；
②由CD=10，AC+BD=10，得出AC+BD=CD，進而求出PC+CD+PD=PA+PB得出答案即可，即可得出△PCD的周長=2AP；
（3）本題要充分利用△PCD周長=2AP的條件．延長射線PA到F，使AF=BD；易證得△OAF≌△OBD得OF=OD；由于△PCD周長=2AP，即l=PA+PB=PC+PD+CD，因此CD=AC+BD=AC+AF=CF；
再證明△OCF≌△OCD，那么兩三角形的對應邊上的高也相等，則OE=OA，然后再次證明Rt△OBD≌Rt△OED可得∠ODB=∠ODC．
點評：此題主要考查了全等三角形全等的判定與性質，是一個很好的開放題，關鍵是掌握證明三角形全等的判定方法SSS、SAS、AAS、ASA．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．