Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC、BC的長恰好為方程x²-14x+a=0的兩根，且AC-BC=2，D為AB的中點．
（1）求a的值．
（2）動點P從點A出發，沿A→D→C的路線向點C運動；點Q從點B出發，沿B→C的路線向點C運動．若點P、Q同時出發，速度都為每秒2個單位，當點P經過點D時，點P速度變為每秒3單位，同時點Q速度變為每秒1個單位．當其中有一點到達終點時整個運動隨之結束．設運動時間為t秒．在整個運動過程中，設△PCQ的面積為S，試求S與t之間的函數關系式；并指出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由根與系數關系，得AC+BC=14，結合已知AC-BC=2，可求AC、BC的值，由AC•BC=a求a的值；
（2）由勾股定理得AB=10，則AD=5，當點P經過D點時，t=2.5，此時BQ=5，QC=BC-BQ=1，點Q到C點還需要1秒，根據時間段分別求S與t之間的函數關系式．

解答：解：（1）∵AC、BC的長為方程x²-14x+a=0的兩根，
∴AC+BC=14，
又∵AC-BC=2，
∴AC=8，BC=6，
∴a=8×6=48；

（2）作PH⊥BC，垂足為H，
∵∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+ BC2

=10．
又∵D為AB的中點，
∴CD=

1

2

AB=5．
當0＜t≤2.5時，由PH∥AC得

PH

AC

=

PB

AB

，即

PH

8

=

10-2t

10

，
解得PH=

4

5

（10-2t），
S=

1

2

×CQ×PH=

1

2

（6-2t）×

4

5

（10-2t）=1.6t²-12.8t+24，
當2.5＜t≤3.5時，
同理，得S=1.2t²-9.2t+17.5．

點評：本題考查了根與系數關系、勾股定理、平行線分線段成比例定理的運用．關鍵是根據比例表示△PCQ的高，本題還考查了分類討論的思想．