Question

某商業公司為指導某種應季商品的生產和銷售，對三月份至七月份該商品的銷售和生產進行了調研，結果如下：一件商品的售價M（元）與時間t（月）的關系可用一條線段上的點來表示（如圖1）；一件商品的成本Q（元）與時間t（月）的關系可用一條拋物線上的點來表示，其中6月份成本最高（如圖2）．
（1）一件商品在3月份出售時的利潤是多少元？（利潤=售價-成本）
（2）求圖2中表示一件商品的成本Q（元）與時間t（月）之間的函數關系式；
（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利潤W（元）與時間t（月）之間的函數關系式嗎？若該公司能在一個月內售出此種商品30 000件，請你計算一下該公司在一個月內最少獲利多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）從圖易知3月份每件商品售價6元，成本1元，易求利潤；
（2）根據圖象特征拋物線的頂點為（6，4），可設拋物線的解析式為Q=a（t-6）²+4，將點（3，1）代入可得出函數解析式．
（3）根據利潤的計算方法，顯然需求直線解析式，再求差，運用函數性質計算利潤．
解答：解：（1）由圖象知：3月份每件商品售價6元，成本1元，
故可得，一件商品在3月份出售時的利潤為5元．

（2）由圖知，拋物線的頂點為（6，4），
故可設拋物線的解析式為Q=a（t-6）²+4．
∵拋物線過（3，1）點，
∴a（3-6）²+4=1．
解得．
故拋物線的解析式為Q=-（t-6）²+4，
即，其中t=3，4，5，6，7．

（3）設每件商品的售價M（元）與時間t（月）之間的函數關系式為M=kt+b．
∵線段經過（3，6）、（6，8）兩點，
∴
解得
∴，其中t=3，4，5，6，7．
故可得：一件商品的利潤W（元）與時間t（月）的函數關系式為：W=M-Q==．
即，
其中t=3，4，5，6，7．
當t=5時，W有最小值為元，
即30000件商品一個月內售完至少獲利=110000（元）．
答：該公司一個月內至少獲利110000元．
點評：此題考查了二次函數的應用，及待定系數法求二次函數解析式的知識，難點在第3個問題：表示利潤，注意配方法求二次函數最值的應用，難度較大．