Question

如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，點B是⊙O上的一點，且∠BAC=30°，∠APB=60°．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB，證PB⊥OB．根據四邊形的內角和為360°，結合已知條件可得∠OBP=90°得證．
（2）連接OP，根據切線長定理得直角三角形，運用三角函數求解．
解答：（1）證明：連接OB．
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°．                （1分）
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°．              （2分）
∵PA切⊙O于點A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四邊形的內角和為360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°．         （3分）
∴OB⊥PB．
又∵點B是⊙O上的一點，
∴PB是⊙O的切線．                            （4分）

（2）解：連接OP；
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30°．           （5分）
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，（6分）
∴PA=．        （7分）
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2．                             （8分）
（此題解法多樣，請評卷老師按解題步驟給分）
點評：此題考查了切線的判定、切線長定理、三角函數等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．