Question

如圖，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，以CD為直徑的⊙O交AC于點E，點G是AD的中點．
求證：GE是⊙O的切線．

Answer 1

分析：由CD為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠CED為直角，根據鄰補角的定義可得∠AED為直角，又G為斜邊AD的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到EG為AD的一半，又G為AD中點，可得GD為AD的一半，等量代換可得GE與GD相等，根據等邊對等角可得一對角相等，由半徑OE與OD相等，也根據等邊對等角得到一對角相等，兩個等式左右相加可得∠OEG與∠ODG相等，由已知∠ADC為直角，可得∠OEG為直角，利用切線的判定方法可得出EG與圓O相切，得證．

解答：
證明：連接OE，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CED=90°，
∴∠AED=90°，
又G為AD的中點，
∴EG=

1

2

AD=DG，
∴∠GED=∠GDE，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠GED+∠OED=∠GDE+∠ODE，即∠OEG=∠ODG，
∵∠ODG=90°，
∴∠OEG=90°，
∴GE為⊙O的切線．

點評：此題考查了切線的判定，涉及的知識有：圓周角定理，直角三角形斜邊上中線的性質，以及等腰三角形的性質，利用了轉化的思想，其中切線的判定方法有兩種，分別為：有點連接此點與圓心，證明垂直；無點作垂線，證明垂線段等于半徑．