Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點，BE=2CE，連接DE，F為DE中點，以DF為直角邊作等腰Rt△DFG，連接BG，將△DFG繞點D順時針旋轉得△DF′G′，G′恰好落在BG的延長線上，連接F′G，若BG=2 ，則S△GF′G′= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖，作GM⊥BC于M，MG的延長線交AD于N，作DK⊥BG′于K，作KQ⊥DG′于Q，作F′H′BG′于H，BG′交AD于P．

∵BE=2EC，設EC=a，則BE=2a，BC=CD=MN=3a，

∵DG=GE，∠DGE=90°，易證△DGN≌△GEM，設EM=x，

則GN=EM=x，GM=DN=CM=a+x，

∴x+x+a=3a，

∴x=a，

∴BM=EM，∵GM⊥BE，

∴GB=GE=2 ，

∵GM=2a．EM=a，

在Rt△GEM中，可得5a2=20，

∵a＞0，

∴a=2，

∴AB=BC=CD=AD=6，GM=4，CM=DN=4，AN=GN=2，DF=EF=GF=G′F′= ，DG=GE=DG′=2 ，

∵△GBM∽△BPA，

∴ = ，

∴ = ，

∴AP=PD=3，

由△APB∽△KPD，可得DK= ，

∵DG′=DG，DK⊥GG′，

∴G′K=GK= = ，

設BG′交DF′于T，作TR⊥DG′于R，

∵tan∠TG′R= = = ，設TR=3k，RG′=4k，

∵∠TDR=45°，

∴TR=DR=3k，

∴7k=2 ，

∴k= ，

∴TG′=5k= ，

由△′F′H∽△G′TF′，

可得G′H= ，

在Rt△G′F′H中，F′H= = ，

∴S△GG′F′= GG′F′H= × × = ，

所以答案是 ．

【考點精析】關于本題考查的等腰直角三角形和勾股定理的概念，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．