Question

已知，如圖，?ABCD中，BE，CF分別是∠ABC和∠BCD的一平分線，BE，CF相交于點O．
（1）求證：BE⊥CF；
（2）試判斷AF與DE有何數量關系，并說明理由；
（3）當△BOC為等腰直角三角形時，四邊形ABCD是何特殊四邊形？
（直接寫出答案）

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
又∵BE，CF分別是∠ABC，∠BCD的平分線
∴∠EBC+∠FCB=90°
∴∠BOC=90°
故BE⊥CF

（2）解：AF=DE
理由如下：
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠CBE
又∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠CBE
∴∠AEB=∠ABE
∴AB=AE
同理CD=DF
又∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB=CD
∴AE=DF
∴AF=DE

（3）解：當△BOC為等腰直角三角形時四邊形ABCD是矩形．
分析：（1）平行四邊形中鄰角互補，且BE、CF分別為一組鄰角的平分線，所以BE和CF垂直．
（2）在三角形AEB中，因為BE為平分線，AD和BC平行，所以可得∠ABE=∠AEB，即AB=AE，同理，DF=DC，所以AF=DE．
（3）當△BOC為等腰直角三角形時，即∠BOC=90°，由題可知，∠ABC=∠BCD=90°，有一個角是直角的平行四邊形為矩形．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質以及矩形的判定，難易程度適中．