Question

【題目】如圖，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F為BC的延長線上一點，FG⊥AE交AD的延長線于G，AC的延長線交FG于H，連接BG，下列結論：①∠DAE＝∠F；②∠DAE＝(∠ABD﹣∠ACE)；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正確的結論有（ ）個．

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

如圖，①根據三角形的內角和即可得到∠DAE＝∠F；②根據角平分線的定義得∠EAC＝，由三角形的內角和定理得∠DAE＝90°﹣∠AED，變形可得結論；③根據三角形的面積公式即可得到S△AEB：S△AEC＝AB：CA；④根據三角形的內角和和外角的性質即刻得到∠AGH＝∠BAE+∠ACB．

解：如圖，AE交GF于M，

①∵AD⊥BC，FG⊥AE，

∴∠ADE＝∠AMF＝90°，

∵∠AED＝∠MEF，

∴∠DAE＝∠F；故①正確；

②∵AE平分∠BAC交BC于E，

∴∠EAC＝，

∠DAE＝90°﹣∠AED，

＝90°﹣(∠ACE+∠EAC)，

＝90°﹣(∠ACE+)，

＝(180°﹣2∠ACE﹣∠BAC)，

＝ (∠ABD﹣∠ACE)，

故②正確；

③∵AE平分∠BAC交BC于E，

∴點E到AB和AC的距離相等，

∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正確，

④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，

∴∠AGH＝∠MEF，

∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，

∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，

∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正確；

故選：D．