Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點A，C的坐標分別為A（-3，0），C（1，0），tan∠BAC=．
（1）求點B的坐標和過點A，B的直線的函數表達式；
（2）在x軸上找一點D，連接BD，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動點，連接PQ，設AP=DQ=m，問是否存在這樣的m使得△APQ與△ADB相似？如存在，請求出的m值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點A、B的坐標求出AC的長度，再根據tan∠BAC=求出BC的長度，然后即可寫出點B的坐標，設過點A，B的直線的函數表達式為y=kx+b，利用待定系數法求解即可得到直線AB的函數表達式；
（2）過點B作BD⊥AB，交x軸于點D，D點為所求．又tan∠ADB=tan∠ABC=，CD=BC÷tan∠ADB=3÷，可求OD=OC+CD=，所以D（ ，0）；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，當PQ∥BD時，△APQ∽△ABD，解得 ；當PQ⊥AD時，△APQ∽△ADB，則解得 ．
解答：解：（1）∵點A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=×4=3，
∴B點坐標為（1，3），
設過點A，B的直線的函數表達式為y=kx+b，
由 ，
解得k=，b=，
∴直線AB的函數表達式為y=x+；

（2）如圖1，過點B作BD⊥AB，交x軸于點D，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴D點為所求，
又tan∠ADB=tan∠ABC=，
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷，
∴OD=OC+CD=1+=，
∴D（ ，0）；

（3）這樣的m存在．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
如圖1，當PQ∥BD時，△APQ∽△ABD，
則=，
解得m=，
如圖2，當PQ⊥AD時，△APQ∽△ADB，
則=，
解得m=．
故存在m的值是或時，使得△APQ與△ADB相似．
點評：本題主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．