Question

（2006•濱州）如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成長方形零件PQMN，使長方形PQMN的邊QM在BC上，其余兩個頂點P，N分別在AB，AC上．
（Ⅰ）求這個長方形零件PQMN面積S的最大值；
（Ⅱ）在這個長方形零件PQMN面積最大時，能否將余下的材料△APN，△BPQ，△NMC剪下再拼成（不計接縫用料及損耗）與長方形PQMN大小一樣的長方形？若能，試給出一種拼法；若不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設長方形零件PQMN的邊PN=a，PQ=x，則AE=80-x，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示a，故S=x•a，從而得出二次函數解析式，根據解析式及自變量取值范圍求S的最大值；
（2）S的最大值是2400mm²，而△ABC的面積是4800mm²，故剩下部分面積是2400mm²，而此時PQ=AD=40，故P，Q分別為AB，AC的中點，易證△PBQ≌△PAG，△NMC≌△NHA，可達到拼接的目的．
解答：解：（1）設長方形零件PQMN的邊PN=a，PQ=x，則AE=80-x．
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC．
∴．
因此，．（1分）
解得a=120-x．（2分）
所以長方形PQMN的面積S=xa=x（120-x）=-x²+120x．（3分）
當x=-=40時，a=60．（4分）
S_最大值=40×60=2400（mm²）．
所以這個長方形零件PQMN面積S的最大值是2400mm²．（5分）

（2）∵S_△ABC-2S_最大值=×120×80-2×2400=0，
∴從理論上說，恰能拼成一個與長方形PQMN大小一樣的長方形．
拼法：作△ABC的中位線PN，分別過P，N作BC的
垂線，垂足分別為Q，M，過A作BC的平行線，交QP，MN的延長線于G，H，易知△PBQ≌△PAG，△NMC≌△NHA，
所以將△PBQ，△NMC剪下拼接到△PAG，△NHA的位置，
即得四邊形PNHG，此四邊形即為長方形零件PQMN面積最大時大小一樣的長方形．
（注：拼法描述正確得（2分），畫圖正確得（1分）．）
點評：本題用二次函數的方法解決面積問題，是函數性質的實際運用，需要從計算矩形面積著手，求矩形的長、寬，同時考查了拼接問題，需要從圖形的特殊性著手．