Question

在Rt△ABC中，∠B=90°，B（0，0），A（0，4），C（4，0）．點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．
（1）當(dāng)t為何值時，線段DE長為；
（2）當(dāng)線段EF與以點B為圓心，半徑為1的⊙B有兩個公共交點時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABC中，由OA=4，OC=4，運用正切函數(shù)的定義得出∠C=30°，再運用含t的代數(shù)式分別求出點E、F的坐標(biāo)，然后根據(jù)線段DE長為得到關(guān)于t的方程，求解即可；
（2）當(dāng)線段EF與⊙B有兩個公共交點時，直線EF與⊙B相交，此時圓心到直線的距離小于圓的半徑．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，B（0，0），A（0，4），C（4，0），
∴tanC=OA：OC=，
∴∠C=30°．
在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t，CF=t，
∴OF=4-t，
∴D（4-t，t）．
又∵AE=t，
∴OE=4-t．
∴E（0，4-t）．
當(dāng)線段DE長為時，有（4-t）²+（t-4+t）²=39，
解得t₁=，t₂=5（不合題意，舍去）．
故t₁=時，線段DE長為；

（2）∵⊙B的半徑為1，
∴當(dāng)點O到EF的距離小于1時，直線EF與⊙B相交．
而點O到EF的距離即為直角△EOF斜邊EF上的高的長度，設(shè)直角△EOF斜邊EF上的高為h．
∵AE∥DF，AE=DF=t，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴∠EFO=∠C=30°，
則h=OF•sin∠EFO=OF=，
∴＜1，
解得t＞．
又∵點D從點C出發(fā)沿CA方向運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向運動，DF⊥BC于點F，
∴AE≤3即OE≥1，
∴4-t≥1，
∴t≤3．
故t的取值范圍為：＜t≤3．
點評：本題考查了勾股定理，兩點間的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系和正切函數(shù)的定義，綜合性較強，有一定的難度．