Question

如圖，有一圓內接正八邊形ABCDEFGH，若△ADE的面積為10，則正八邊形ABCDEFGH的面積為何（　　）

• A、40
• B、50
• C、60
• D、80

Answer 1

分析：過C作CL⊥AD于L，連接HE，設正八邊形的邊長為a，AD=h；先根據△ADE的面積求出矩形ADEH的面積，再根據正多邊形內角和定理求出各內角的度數，判斷出△CDL的形狀，求出邊長；進一步可求出梯形ABCD的面積，根據S_{正八邊形ABCDEFGH}=S_梯形ABCD+S_梯形ABCD+S_矩形ADEH即可解答．

解答：解：過C作CL⊥AD于L，連接HE，則四邊形ADEH是矩形；
設正八邊形的邊長為a，AD=h，
則S_△ADE=

1

2

DE•AD=

1

2

ah=10，ah=20，即S_矩形ADEH=20，
∵正八邊形的內角度數為

180°×(8-2)

8

=135°，
∴∠LCD=135°-90°=45°，
∴△CDL是等腰直角三角形，設CL=x，
∴CD²=CL²+LD²，即a²=x²+x²，x=

2

2

a，
∴AD=h=a+

2

a，
∵ah=20，
∴（1+

2

）a²=20，a²=

20

1+ 2

，
∴S_梯形ABCD=

(BC+AD)•CL

2

=

(a+a+ 2 a)• 2 a 2

2

=

2 (2+ 2 )a2

4

=

( 2 +1)• 20 1+ 2

2

=10，
同理，S_梯形EFGH=10，
∴S_{正八邊形ABCDEFGH}=S_梯形ABCD+S_梯形ABCD+S_矩形ADEH=10+10+20=40．
故選A．

另解：取AE中點I，則點I為圓的圓心，圓內接正八邊形ABCDEFGH是由8個與△IDE全等的三角形構成．易得△IDE的面積為5，則圓內接正八邊形ABCDEFGH為8×5=40．

點評：本題比較復雜，涉及到正多邊形的性質、直角三角形的性質及梯形的面積公式，解答此題的關鍵是作出輔助線構造出直角三角形解答．