Question

（2013年浙江義烏12分）如圖1，已知（x＞）圖象上一點P，PA⊥x軸于點A（a，0），點B坐標為（0，b）（b＞0），動點M是y軸正半軸上B點上方的點，動點N在射線AP上，過點B作AB的垂線，交射線AP于點D，交直線MN于點Q，連結AQ，取AQ的中點為C．

（1）如圖2，連結BP，求△PAB的面積；

（2）當點Q在線段BD上時，若四邊形BQNC是菱形，面積為，求此時P點的坐標；

（3）當點Q在射線BD上時，且a=3，b=1，若以點B，C，N，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求這個平行四邊形的周長．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）。

（2）如圖1，∵四邊形BQNC是菱形，

∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC。

∵AB⊥BQ，C是AQ的中點，∴BC=CQ=AQ。∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°。

在△ABQ和△ANQ中，∵，∴△ABQ≌△ANQ（SAS）。

∴∠BAQ=∠NAQ=30°。∴∠BAO=30°。

∵S_{四邊形BQNC}=，∴BQ=2。∴AB=BQ=。∴OA=AB=3。

又∵P點在反比例函數的圖象上，∴P點坐標為（3，2）。

（3）∵OB=1，OA=3，∴AB=。

∵△AOB∽△DBA，∴。∴BD=3。

①如圖2，當點Q在線段BD上，

∵AB⊥BD，C為AQ的中點，∴BC=AQ。

∵四邊形BNQC是平行四邊形，∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD。

∴，∴BQ=CN=BD=。

∴AQ=2。

∴C_{四邊形BQNC}=。

②如圖3，當點Q在線段BD的延長線上，

∵AB⊥BD，C為AQ的中點，

∴BC=CQ=AQ。

∴平行四邊形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ。

∴。∴BQ=3BD=9。

∴。

∴C四邊形BNQC=2AQ=。

【解析】（1）根據同底等高的兩個三角形的面積相等即可求出△PAB的面積。

（2）首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后根據SAS證明△ABQ≌△ANQ，進而求出∠BAO=30°，由S_{四邊形BQNC}=求出OA=3，于是P點坐標求出。

（3）分兩類進行討論，當點Q在線段BD上，根據題干條件求出AQ的長，進而求出四邊形的周長，當點Q在線段考點：反比例函數綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，菱形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，分類思想的應用。

BD的延長線上，依然根據題干條件求出AQ的長，再進一步求出四邊形的周長。