Question

將一個直角三角形紙片OAB放置在平面直角坐標系中（如圖），若斜邊所在的直線為y=-2x+4．點B'是OA上的動點，折疊直角三角形紙片OAB，使折疊后點B與點B'重合，折痕與邊OB交于點C，與邊AB交于點D．
（1）若B'與點O重合，直接寫出點C、D的坐標；
（2）若B'與點A重合，求點C、D的坐標；
（3）若B'D∥OB，求點C、D的坐標．

Answer 1

分析：（1）B'與點O重合，則CD是△AOB的中位線，根據中點定義進行解答寫出；
（2）B'與點A重合，則CD是AB的垂直平分線，點D坐標可以根據（1）求解，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，可得BC=AC，然后設點C坐標為（0，m），分別用m表示出OC、AC的長度，再利用勾股定理列式求解即可求出m的值，從而點C的坐標便可求出；
（3）若B'D∥OB，根據兩直線平行，內錯角相等以及折疊前后兩個圖形能夠完全重合的性質可以得到∠OCB'=∠CBD，再根據同位角相等兩直線平行得到CB'∥BA，從而證明△COB'∽△BOA，根據相似三角形對應邊成比例，設OB'=x₀，然后表示出OC，在Rt△B'OC中，利用勾股定理列式計算即可求出x₀的值，再求出OC得到點C的坐標，利用直線AB的解析式求出點D的坐標．

解答：解：（1）C（0，2），D（1，2）；

（2）由y=-2x+4求得B（0，4），A（2，0）．
如圖①，折疊后點B與點A重合，
則△ACD≌△BCD，BD=DA．
由（1）得D的坐標為（1，2）
設點C的坐標為（0，m）（m＞0）．
則BC=OB-OC=4-m．
于是AC=BC=4-m．
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC²=OC²+OA²，
即（4-m）²=m²+2²，
解得m=

3

2

．
∴點C的坐標為(0，

3

2

)，D的坐標為（1，2）．

（3）如圖②，折疊后點B落在OA邊上的點為B'，
且B'D∥OB．
則△B'CD≌△BCD，∠OCB'=∠CB'D．
又∵∠CBD=∠CB'D，
∴∠OCB'=∠CBD，有CB'∥BA．
∴Rt△COB'∽Rt△BOA．
有

OB′

OA

=

OC

OB

，得OC=2OB'．
在Rt△B'OC中，
設OB'=x₀（x＞0），則OC=2x₀．
則B'C=BC=OB-OC=4-2x₀，
在Rt△B'OC中，由勾股定理，得B'C²=OC²+OB'²．
∴（4-2x₀）²=（2x₀）²+x₀²，
得x²₀+16x₀-16=0，
解得x0=-8±4

5

．
∵x₀＞0，
∴x0=-8+4

5

．
∴點C的坐標為(0，8

5

-16)．
∵B'D∥OB
則可得點D的橫坐標為-8+4

5

．
設點D的縱坐標為n．
∵點D在直線y=-2x+4上，
∴n=-2×(-8+4

5

)+4=20-8

5

，
∴點D的坐標為(4

5

-8，20-8

5

)．

點評：本題綜合考查了一次函數的知識，翻折對稱的性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與相似三角形對應邊成比例的性質，綜合性較強，并且運算量較大，希望通過學們在解答是要仔細分析，小心計算，以避免出錯．