Question

如圖，已知△ABC內接于半徑為4的☉0，過0作BC的垂線，垂足為F，且交☉0于P、Q兩點．OD、OE的長分別是拋物線y=x²+2mx+m²-9與x軸的兩個交點的橫坐標．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在直線l，使它經過拋物線與x軸的交點，并且原點到直線l的距離是2？如果存在，請求出直線l的解析式；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接BO，根據垂徑定理與圓周角定理可得∠BAC=∠BOQ，再根據等角的補角相等可得∠BOD=EAD，然后證明△BOD和△EAD相似，根據相似三角形對應邊成比例列式整理即可得到OD、OE的關系，再根據相交弦定理列式整理出AD、BD的關系，從而得到OD•OE的值，令y=0，根據拋物線與x軸的交點問題用m表示出OD•OE，從而得到關于m的方程，求解得到m的值，再根據OD、OE都是正數，且是拋物線與x軸的交點的橫坐標可得拋物線對稱軸在y軸的右邊求出m的取值范圍，從而得到m的值，代入拋物線計算即可得解；
（2）根據拋物線解析式求出與x軸的兩個交點坐標分別為（2，0）（8，0），①當直線l經過左邊交點時，直線l平行于y軸，原點到直線l的距離是2；②當直線l經過右邊交點時，是交點為L，過點O作OM⊥l與點M，過點M作MN⊥x軸于點N，則OM=2，根據相似三角形對應邊成比例列式求出ON的長度，再利用勾股定理求出MN的長度，然后分點M在x軸上方與下方兩種情況，利用待定系數法求直線解析式求出直線l的解析式．

解答：解：（1）如圖，連接BO，∵OQ⊥BC與F，
∴

QB

=

QC

，
∴∠BAC=∠BOQ，
∵∠BOD=180°-∠BOQ，∠EAD=180°-∠BAC，
∴∠BOD=EAD，
又∵∠BDO=∠EDA（對頂角相等），
∴△BOD∽△EAD，
∴

OD

AD

=

BD

DE

，
∴AD•BD=OD•DE，
根據相交弦定理AD•BD=DQ•DP，
∴OD•DE=DQ•DP，
∵圓的半徑為4，
∴OD（OE-OD）=（4+OD）（4-OD），
整理得，OD•OE=16，
令y=0，則x²+2mx+m²-9=0，
∵OD、OE是拋物線與x軸的交點的橫坐標，
∴OD•OE=m²-9，
∴m²-9=16，
解得m=±5，
∵線段OD、OE的長度都是正數，
∴-

b

2a

=-

2m

2×1

=-m＞0，
解得m＜0，
∴m=-5，
∴拋物線解析式為y=x²-10x+16；

（2）存在．
理由如下：令y=0，則x²-10x+16=0，
解得x₁=2，x₂=8，
所以，拋物線與x軸的交點坐標為（2，0），（8，0），
①當直線l經過點（2，0）時，直線l平行于y軸時，原點到直線l的距離為2，
所以，直線l的解析式為x=2；
②當直線l經過點（8，0）時，如圖，設點L（8，0），
過點O作OM⊥l與點M，過點M作MN⊥x軸于點N，則OM=2，
∵∠OML=∠MNO=90°，∠MON=∠LOM，
∴△OMN∽△OLM，
∴

OM

OL

=

ON

OM

，
即

2

8

=

ON

2

，
解得ON=

1

2

，
在Rt△OMN中，MN=

OM2-ON2

=

22-( 1 2 )2

=

15

2

，
設直線l的解析式為y=kx+b，
當點M在x軸上方時，點M的坐標為（

1

2

，

15

2

），
則

1 2 k+b= 15 2 8k+b=0

，
解得

k=- 15 15 b= 8 15 15

，
此時直線l的解析式為y=-

15

15

x+

8 15

15

，
當點M在x軸下方時，點M的坐標為（

1

2

，-

15

2

），
則

1 2 k+b=- 15 2 8k+b=0

，
解得

k= 15 15 b=- 8 15 15

，
此時直線l的解析式為y=

15

15

x-

8 15

15

，
綜上所述，存在直線l：x=2或y=-

15

15

x+

8 15

15

或y=

15

15

x-

8 15

15

使原點到l的距離為2．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了垂徑定理，圓周角定理，相交弦定理，拋物線與x軸的交點問題，根與系數的關系，相似三角形的判定與性質，待定系數法求直線解析式，綜合性較強，難度較大，（1）作出輔助線構造出相似三角形然后求出OD•OE=16是解題的關鍵，（2）注意要分情況討論求解．