Question

將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點E，連結CD。

（1）填空：如圖1，AC=______，BD=______；四邊形ABCD是______梯形；
（2）請寫出圖1中所有的相似三角形（不含全等三角形）；
（3）如圖2，若以AB所在直線為軸，過點A垂直于AB的直線為軸建立如圖2的平面直角坐標系，保持ΔABD不動，將ΔABC向軸的正方向平移到ΔFGH的位置，FH與BD相交于點P，設AF=t，ΔFBP面積為S，求S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍。

Answer 1

解：（1）；；等腰； （2）共有9對相似三角形： 　①△DCE、△ABE與△ACD或△BDC兩兩相似，分別是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；（有5對） ②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；（有2對） ③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；（有2對） 所以，一共有9對相似三角形。
（3）由題意知，FP∥AE， ∴ ∠1=∠PFB， 又∵ ∠1=∠2=30°， ∴ ∠PFB=∠2=30°， ∴ FP=BP， 過點P作PK⊥FB于點K， 則， ∵ AF=t，AB=8， ∴ FB=8-t，， 在Rt△BPK中， ， ∴ S與t之間的函數關系式為： 或， t的取值范圍是。