Question

1．如圖，在△ABC中，AC=BC=5cm，AB=6cm，CD⊥AB于點D．動點P，Q同時從點C出發，點P沿線CD做依次勻速往返運動，回到點C停止；點Q沿折線CA-AD向終點D做勻速運動；點P，Q運動的速度都是5cm/s．過點P作PE∥BC，交AB于點E，連接PQ．當點P，E不重合且點P，Q不重合時，以線段PE，PQ為一組鄰邊作□PEFQ．設點P運動的時間為t（s），?PEFQ與△ABC重疊部分的面積為S（cm²）．
（1）用含t的代數式表示線段PE的長．
（2）當點F在線段AB上時，求t的值．
（3）當點Q在線段AB上運動時，求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）根據題意，分兩種情況：①當0＜t＜$\frac{4}{5}$時；②當$\frac{4}{5}$＜t≤$\frac{8}{5}$時；然后根據PE∥BC，可得$\frac{PE}{BC}$=$\frac{PD}{CD}$，據此用含t的代數式表示線段PE的長即可．
（2）首先用含t的代數式表示出QF、QA，然后根據QA=QF，求出t的值是多少即可．
（3）首先作PM⊥BC于點M，作QN⊥BC于點N，設?PEFQ的高為h，分別用含t的代數式表示出PM、QN，進而用含t的代數式表示出h；然后根據三角形的面積的求法，求出S與t之間的函數關系式即可．

解答 解：（1）∵AC=BC=5cm，CD⊥AB于點D，
∴點D是AB的中點，AD=6÷2=3（cm），
∵AC=5cm，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4（cm）．
①當0＜t＜$\frac{4}{5}$時，如圖1，

∵PC=5t，
∴PD=CD-PC=4-5t，
∵PE∥BC，
∴$\frac{PE}{BC}$=$\frac{PD}{DC}$，
∴PE=$\frac{BC•PD}{CD}$=$\frac{5}{4}$PD=$\frac{5}{4}$（4-5t）=5-$\frac{25}{4}$t．

②當$\frac{4}{5}$＜t≤$\frac{8}{5}$時，如圖2，
，
PD=5t-4，
∵PE∥BC，
∴$\frac{PE}{BC}$=$\frac{PD}{DC}$，
∴PE=$\frac{BC•PD}{CD}$=$\frac{5}{4}$PD=$\frac{5}{4}$（5t-4）=$\frac{25}{4}$t-5．
綜上所述，PE=$\left\{\begin{array}{l}{5-\frac{25}{4}t}&{（0＜t＜\frac{4}{5}）}\\{\frac{25}{4}t-5}&{（\frac{4}{5}＜t≤\frac{8}{5}）}\end{array}\right.$．

（2）如圖3，

QF=PE=$\frac{25}{4}t$-5，
∵CQ=5t，
∴QA=AC-CQ=5-5t，
∵PE∥BC，PE∥QF，
∴QF∥BC，
∴$\frac{QA}{AC}$=$\frac{QF}{BC}$，
∵AC=BC，
∴QA=QF，
∴5-5t=$\frac{25}{4}$t-5，
解得t=$\frac{8}{9}$．

（3）如圖4，作PM⊥BC于點M，作QN⊥BC于點N，

設?PEFQ的高為h，
∵sin∠PCM=$\frac{BD}{BC}$，
∴PM=PC•sin∠PCM=（8-5t）×$\frac{3}{5}$=$\frac{24}{5}$-3t，
∵sin∠QBN=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{4}{5}$，
∴QN=BQ•sin∠QBN=[6-（5t-5）]×$\frac{4}{5}$=$\frac{44}{5}$-4t，
∴h=QN-PM=（$\frac{44}{5}$-4t）-（$\frac{24}{5}$-3t）=4-t，
∴S=$\frac{1}{2}$PE•h=$\frac{1}{2}$（$\frac{25}{4}t$-5）×（4-t）=-$\frac{25}{8}$t²+15t-10．

點評 本題考查了相似形綜合題、函數關系式的求法、矩形的性質和應用、三角函數的應用、三角形的面積的求法等知識，解題的關鍵是學會分類討論思想的應用，需要一定的分析推理能力，屬于中考壓軸題．