Question

（2013•荊州）如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，連結AD₁、BC₁．若∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x，△ACD與△A₁C₁D₁重疊部分的面積為s，則下列結論：
①△A₁AD₁≌△CC₁B；
②當x=1時，四邊形ABC₁D₁是菱形；
③當x=2時，△BDD₁為等邊三角形；
④s=

3

8

（x-2）² （0＜x＜2）；
其中正確的是

①②③④

（填序號）．

Answer 1

分析：①根據矩形的性質，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性質，可得出∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB，從而證出結論；
②根據菱形的性質，四條邊都相等，可推得當C₁在AC中點時四邊形ABC₁D₁是菱形．
③當x=2時，點C₁與點A重合，可求得BD=DD₁=BD₁=2，從而可判斷△BDD₁為等邊三角形．
④易得△AC₁F∽△ACD，根據面積比等于相似比平方可得出s與x的函數關系式．．

解答：解①∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，
∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁，
在△A₁AD₁與△CC₁B中，

AA1=CC1 ∠A1=∠ACB A1D1=CB

，
∴△A₁AD₁≌△CC₁B（SAS），
故①正確；

②∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC₁=1，
∴△AC₁B是等邊三角形，
∴AB=BC₁，
又AB∥BC₁，
∴四邊形ABC₁D₁是菱形，
故②正確；
③如圖所示：

則可得BD=DD₁=BD₁=2，
∴△BDD₁為等邊三角形，故③正確．
④易得△AC₁F∽△ACD，
∴

S△AC1F

S△ACD

=（

2-x

2

）²，
解得：S_△AC1F=

3

8

（x-2）² （0＜x＜2）；故④正確；
綜上可得正確的是①②③④．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、等邊三角形的判定及解直角三角形的知識，解答本題需要我們熟練掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性質，有一定難度．