Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，周長為20，⊙O為△ABC內切圓，連接AO交BC于點D，且CD：BD=2：3，則△ABC內切圓的半徑為（　　）

• A． $\sqrt{5}$-1
• B． $\sqrt{5}$+1
• C． 3$\sqrt{5}$-5
• D． 6$\sqrt{5}$-10

Answer 1

分析 根據內心的性質、角平分線的性質得到CA：BA=2：3，根據三角形的周長公式列出方程求出x，根據內切圓的半徑公式計算即可．

解答 解：∵⊙O為△ABC內切圓，
∴AD平分∠CAB，
∵CD：BD=2：3，
∴CA：BA=2：3，
設CA、BA分別為2x、3x，
由勾股定理得，BC=$\sqrt{5}$x，
則2x+3x+$\sqrt{5}$x=20，
解得，x=5-$\sqrt{5}$，
∴AC=10-2$\sqrt{5}$，AB=15-3$\sqrt{5}$，BC=5$\sqrt{5}$-5，
∴△ABC內切圓的半徑為$\frac{10-2\sqrt{5}+5\sqrt{5}-5-15+3\sqrt{5}}{2}$=3$\sqrt{5}$-5，
故選：C．

點評 本題考查的是三角形的內切圓和內心，掌握角平分線的性質、內心的性質、三角形的內切圓的半徑的求法是解題的關鍵．