Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A點的坐標為（a，6），AB⊥x軸于點B，=，反比例函數y=的圖象的一支分別交AO、AB于點C、D．延長AO交反比例函數的圖象的另一支于點E．已知點D的縱坐標為．

（1）求反比例函數的解析式及點E的坐標；

（2）連接BC，求S△CEB．

（3）若在x軸上的有兩點M（m，0）N（-m，0）．

①以E、M、C、N為頂點的四邊形能否為矩形？如果能求出m的值，如果不能說明理由．

②若將直線OA繞O點旋轉，仍與y=交于C、E，能否構成以E、M、C、N為頂點的四邊形為菱形，如果能求出m的值，如果不能說明理由．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數的解析式為：y=；E（-4，-3）；（2）24；（3）①m=5或-5．②以E、M、C、N為頂點的四邊形不能為菱形．

【解析】

（1）根據已知條件可求A、D的坐標，用待定系數法即求出反比例函數解析式；由點A坐標求直線OA的解析式，把直線OA與反比例函數解析式聯立方程組，即求出交點E；

（2）把△CEB分成△COB與△EOB，以OB為公共底，點C和點E縱坐標的絕對值為高即求出三角形面積；

（3）先由OC=OE，OM=ON得四邊形EMCN為平行四邊形．①若為矩形，則對角線相等，即MN=CE，易求出m的值；②若為菱形，則對角線互相垂直，但CE不與x軸垂直，矛盾，故不能成為菱形．

本題考查了反比例函數的圖象與性質，反比例函數與一次函數的綜合運用，平行四邊形、矩形、菱形的判定．

（1）∵A點的坐標為（a，6），AB⊥x軸于B，

∴AB=6，

∵，

∴OB=8，

∴A（8，6），D（8，），

∵點D在反比例函數y=的圖象上，

∴k=8×=12，

∴反比例函數的解析式為：y=，

設直線OA的解析式為：y=bx，

∴8b=6，解得：b=，

∴直線OA的解析式為：y=x，

解得：，，

∴E（-4，-3）；

（2）由（1）可知C（4，3），E（-4，-3），B（8，0），

∴S△CEB=S△COB+S△EOB==OB（yC+|yE|）=×8×（3+3）=24；

（3）①以E、M、C、N為頂點的四邊形能為矩形，

∵M（m，0），N（-m，0），

∴OM=ON，

∵，

∴四邊形EMCN是平行四邊形，

當MN=CE=2OC=2×=10時，EMCN為矩形，

∴OM=ON=5，

∴m=5或-5；

②∵CE所在直線OA不可能與x軸垂直，即CE不能與MN垂直，

∴以E、M、C、N為頂點的四邊形不能為菱形．