Question

24、如圖，已知：點D是△ABC的邊BC上一動點，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=α．
（1）如圖1，當α=60°時，∠BCE=

120°

；
（2）如圖2，當α=90°時，試判斷∠BCE的度數是否發生改變，若變化，請指出其變化范圍；若不變化，請求出其值，并給出證明；
（3）如圖3，當α=120°時，則∠BCE=

30°

．

Answer 1

分析：（1）可證明△ABD≌△ACE，∠B=∠ACE=60°，可得到∠BCE的度數；
（2）過D作DF⊥BC，交CA延長線于F，易證：△DCE≌△DAF，得∠BCE=∠DFA=45°；
（3）同理，當∠FDA=120°時，可證：：△DCE≌△DAF，得∠BCE=∠DFA=30°；

解答：解：（1）如圖，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=60°
∴△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC=60°，AD=AE，∠BCA=60°，
即，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=120°；

（2）如圖，過D作DF⊥BC，交CA或延長線于F，
∵∠BAC=∠FDC=90°，
∴∠ACB=∠DFC=45°，
∴在直角△FDC中：DF=DC，
又∵∠FDA+∠ADC=∠CDE+∠ADC=90°，
∴∠FAD=∠CDE
又∵DA=DE，
∴△FDA≌△CDE，
∴∠DFA=∠DCE，
∴∠DCE=45°；

（3）如圖，同理當∠FDC=120°時，
∵∠ADE=∠BAC=120°，
∴∠FDA+∠ADC=∠CDE+∠ADC，∠ACB=30°，
∴∠FDA=∠CDE，∠DFC=∠ACB=30°，DF=DC，
又AD=DE，
∴△FDA≌△CDE，
∴∠DCE=∠DFA=30°．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定和性質，作輔助線，將問題轉化為兩個全等的三角形中解答，是解答本題的關鍵，注意挖掘本題中的隱含條件，以及知識點的熟練應用．