Question

已知：如圖，拋物線 （）與軸交于點( 0 ，4) ，與軸交于點， ，點的坐標為（ 4 ，0）.

(1) 求該拋物線的解析式;

(2) 點是線段上的動點，過點作∥，交于點，連接. 當的面積最大時，求點的坐標；

（3）若平行于軸的動直線與該拋物線交于點，與直線交于點，點的坐標為（2 ，0）. 問: 是否存在這樣的直線 ，使得是等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）

 ∵拋物線（）與軸交于點( 0 ，4)，與軸交于點（ 4 ，0）

∴   解得

∴該拋物線的解析式為 

 （2）

 令，則 ，解得，， 

∴   ∴ ，，

設，的面積用表示，

方法一

∵ ∥

∴   ， 即

∴       

過點作，垂足為

在Rt中，

在Rt中   

∴

∴ 當時，的面積最大是3，即點的坐標為（1 ，0）

解法二

  ，

過點作，垂足為，則∥

∴

∵∥

∴

∴  即

∴

∴

∴

∴ 當時，的面積最大是3，即點的坐標為（1 ，0）

（3）

  ① 當為底邊時，點的橫坐標是1，又點在直線上，直線的解析式為，所以，點的坐標是（1，3），所以點的縱坐標為3，，代入，得點的坐標為（，3）或（，3）

②當為腰，為頂角時，此時點是以點為圓心，為半徑的圓與直線的交點，有兩個點，點（4，0）與點重合，舍去，點（2，2），所以點的縱坐標為2，，代入，得點的坐標為（，2）或（，2）

③當為腰，為頂角時，此時點應是以點為圓心，為半徑的圓與直線的交點，但是點到的距離為，所以不存在滿足條件的點.