Question

已知：如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點P是劣弧BC上一點（端點除外），∠APB=∠APC=60°．延長BP至D，使BD=AP，連接CD．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）若AP過圓心O，如圖①，請你判斷△PDC是什么三角形？并說明理由．
（3）若AP不過圓心O，如圖②，請你判斷△PDC是什么三角形？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓周角定理可得到∠ABC=∠APC=60°，∠ACB=∠APB=60°，由此可判定△ABC是等邊三角形；
（2）通過證△BCD≌△ACP，可得∠APC=∠D=60°；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角可得∠DPC=∠BAC=60°，由此可得到△PDC是等邊三角形的結(jié)論．
（3）由（2）的解題思路知：△PDC的形狀與AP是否為直徑無關(guān)，故結(jié)論與（2）相同．
解答：（1）證明：∵∠APB=∠APC=60°，
∴∠ABC=∠APC=60°，∠ACB=∠APB=60°，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°；
∴△ABC是等邊三角形；

（2）解：△PDC是等邊三角形．理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC；
又∵∠CAP=∠CBP，BD=AP，
∴△BCD≌△ACP；
∴∠APC=∠D=60°；
∵四邊形ABPC內(nèi)接于⊙O，
∴∠DPC=∠BAC=60°；
∴∠D=∠DPC=∠DCP=60°；
∴△PDC是等邊三角形；

（3）解：△PDC是等邊三角形，理由同（2）．
點評：此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)．能夠通過全等三角形得到∠D=60°是解答此題的關(guān)鍵．