Question

【題目】直線y＝mx(m為常數)與雙曲線y＝(k為常數)相交于A、B兩點．

(1)若點A的橫坐標為3，點B的縱坐標為﹣4

①直接寫出：k＝____，m＝____；

②點C在第一象限內是雙曲線y＝的點，當S△OAC＝9時，求點C的坐標；

(2)將直線y＝mx向右平移得到直線y＝mx+b，交雙曲線y＝于點E(4，y1)和F(﹣2，y2)，直接寫出不等式mx2+bx＜k的解集：_____．

Answer 1

【答案】(1)①12，；②點C的坐標為(6，2)或(，8)；(2)﹣2＜x＜4．

【解析】

（1）①根據正比例函數與雙曲線的交點關于原點對稱得出A（3，4），B（-3，-4），進而得出k=3×4=12，m=；

②如圖，過A點作AM⊥x軸于點M，過C點作CN⊥x軸于點N，設C（x，），x＞0．利用反比例函數比例系數k的幾何意義得出S△ONC=S△OAM，再推出S△OAC=S梯形AMNC=9，根據梯形的面積公式列式計算即可；

（2）由雙曲線y=過點E（4，y1）和F（-2，y2），得出E（4，），F（-2，-），將E、F兩點的坐標代入y=mx+b，得到，解得，進而解不等式mx2+bx＜k即可．

(1) ①∵直線y=mx（m為常數）與雙曲線y=（k為常數）相交于A、B兩點，點A的橫坐標為3，點B的縱坐標為-4，

∴A（3，4），B（-3，-4），

∴k=3×4=12，m=；

②如圖，過A點作AM⊥x軸于點M，過C點作CN⊥x軸于點N，設C(x，)，x＞0．

∵S△OAC+S△ONC＝S梯形AMNC+S△OAM，S△ONC＝S△OAM，

∴S△OAC＝S梯形AMNC＝9，

∴S梯形AMNC＝(AM+CN)MN＝(4+)|x﹣3|＝9，

當x＞3時，化簡整理方程，得2x2﹣9x﹣18＝0，解得x1＝6，x2＝﹣(舍去)，此時C

(6，2)；

當x＜3時，化簡整理方程，得2x2+9x﹣18＝0，解得x1＝﹣6(舍去)，x2＝，此時C(，8)；

綜上所述，所求點C的坐標為(6，2)或(，8)；

(2) 將直線y=mx向右平移得到直線y=mx+b．

∵雙曲線y=過點E（4，y1）和F（-2，y2），

∴E（4，），F（-2，-），

∵直線y=mx+b過點E、F，

∴，解得，

∴不等式mx2+bx＜k即為kx2-kx＜k，

∵k≠0，

∴x2-2x＜8，

∴x2-2x-8＜0，

∴-2＜x＜4．

故答案為：﹣2＜x＜4．