Question

已知直線y=kx-3與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點C，拋物線經過點A和點C，動點P在x軸上以每秒1個長度單位的速度由拋物線與x軸的另一個交點B向點A運動，點Q由點C沿線段CA向點A運動且速度是點P運動速度的2倍．
（1）求此拋物線的解析式和直線的解析式；
（2）如果點P和點Q同時出發，運動時間為t（秒），試問當t為何值時，△PQA是直角三角形；
（3）在直線CA上方的拋物線上是否存在一點D，使得△ACD的面積最大？若存在，求出點D坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=kx-3過點A（4，0），
∴0=4k-3，解得k=．
∴直線的解析式為y=x-3．
由直線y=x-3與y軸交于點C，可知C（0，-3）．
∵拋物線經過點A（4，0）和點C，
∴，
解得m=．
∴拋物線解析式為．

（2）對于拋物線，
令y=0，則，
解得x₁=1，x₂=4．
∴B（1，0）．
∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t．
①若∠Q₁P₁A=90°，則P₁Q₁∥OC（如圖1），
∴△AP₁Q₁∽△AOC．
∴，
∴，
解得t=；
②若∠P₂Q₂A=90°，
∵∠P₂AQ₂=∠OAC，
∴△AP₂Q₂∽△AOC．
∴，
∴
解得t=；
③若∠QAP=90°，此種情況不存在．
綜上所述，當t的值為或時，△PQA是直角三角形．

（3）答：存在．
過點D作DF⊥x軸，垂足為E，交AC于點F（如圖2）．
∴S_△ADF=DF•AE，S_△CDF=DF•OE．
∴S_△ACD=S_△ADF+S_△CDF
=DF•AE+DF•OE
=DF×（AE+OE）
=×（DE+EF）×4
=×（）×4
=．
∴S_△ACD=（0＜x＜4）．
又∵0＜2＜4且二次項系數，
∴當x=2時，S_△ACD的面積最大．
而當x=2時，y=．
∴滿足條件的D點坐標為D（2，）．
分析：（1）將A點坐標代入直線的解析式中，即可求得k的值，從而確定該直線的解析式；將A、C的坐標代入拋物線的解析式中，可求得m、n的值，從而確定拋物線的解析式．
（2）根據（1）得到的拋物線解析式，可求得點B的坐標，根據P、Q的運動速度，可用t表示出BP、CQ的長，進而可得到AQ、AP的長，然后分三種情況討論：
①∠APQ=90°，此時PQ∥OC，可得到△APQ∽△AOC，根據相似三角形所得比例線段即可求得t的值；
②∠AQP=90°，亦可證得△APQ∽△ACO，同①的方法可求得此時t的值；
③∠PAQ=90°，顯然這種情況是不成立的．
（3）過D作y軸的平行線，交直線AC于F，設出點D的橫坐標，根據拋物線和直線AC的解析式可表示出D、F的縱坐標，進而可求得DF的長，以DF為底，A點橫坐標的絕對值為高即可得到△ADC的面積表達式（或由△ADF、△CDF的面積和求得），由此可求出關于△ADC的面積和D點橫坐標的函數關系，根據函數的性質即可求得△ADC的面積最大值及對應的D點坐標．
點評：此題考查了用待定系數法確定函數解析式的方法、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質、圖形面積的求法等知識，（3）題中，將圖形面積的最大（小）值問題轉化為二次函數的最值問題是此類題常用的解法．