Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD于點O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，AD=4，BC=8，則AE+EF等于    ．

Answer 1

【答案】分析：作輔助線，延長BC至G，使DG∥AC，由AD∥BC，可知四邊形ADGC為平行四邊形，所以DG=AC，而等腰梯形中兩對角線相等，所以DG=BD，而DF⊥BG，則△DBG為等腰直角三角形，則可利用勾股定理求DG，又根據等腰直角三角形的性質可知DF=FG，再利用勾股定理可求得FG，從而得到FC=FG-AD=2，根據ADFE為矩形和等腰梯形的兩腰相等可證△ABE≌△DCF，則BE=FC，則EF=BC-2FC=8-2FC=4，所以AE+EF=6+4=10．
解答：解：延長BC至G，使DG∥AC，
∵AD∥BC，
∴四邊形ADGC為平行四邊形，
∴DG=AC，
∵AC⊥BD，
∴DG⊥BD，
又∵等腰梯形ABCD，
∴AC=BD，
∴DG=BD，
∴△DBG為等腰直角三角形，
∴BG²=2BD²
∴（BC+AD）²=2BD²
∴BD=DG=6
∵DF⊥BG，
∴DF=FG，
∴2DF²=（）²
∴DF=6，可得FC=6-4=2，
又∵AE⊥BC，DF⊥BC，AD∥BC，
∴ADFE為矩形，
∴AE=DF，AD=EF，
∵AB=CD，∠AEB=∠DFC，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=CF，
∴EF=BC-2FC=8-2FC=4，
∴AE+EF=6+4=10．
點評：本題考查了矩形的性質和判定以及等腰梯形的性質和最基本輔助線作法，此題的關鍵是作輔助線，然后利用等腰梯形的性質和等腰直角三角形求解．