Question

如圖：在⊙O中，經過⊙O內一點P有一條弦AB，且AP=4，PB=3，過P點另有一動弦CD，連接AC，DB．設CP=x，PD=y．
（1）求證：△ACP∽△DBP．
（2）寫出y關于x的函數(shù)解析式．
（3）若CD=8時，求S_△ACP：S_△DBP的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ACP和△DBP中，根據(jù)圓周角定理即可得到兩組對應角相等，由此得證；
（2）根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可求出y、x的函數(shù)關系式；
（3）已知CD=CP+PD=8，聯(lián)立（2）的函數(shù)關系式，即可求得CP、PD的長，進而可根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出所求的結果．
解答：證明：（1）∵∠C=∠B，∠A=∠D，
∴△ACP∽△DBP；（3分）

（2）由（1）可得：CP•PD=AP•PB，即xy=12；
∴y=（3分）

（3）由題意得；（2分）
由②得y=8-x，代入①得x（8-x）=12
得x₁=2，x₂=6（2分）
∴CP=2，PD=6或CP=6，PD=2（2分）
S_△ACP：S_△DBP=CP²：BP²=2²：3²=4：9或S_△ACP：S_△DBP=CP²：BP²=6²：3²=4：1．（2分）
點評：此題主要考查了圓周角定理以及相似三角形的判定和性質．