Question

（2005•天津）如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，小圓的半徑長為2，大圓的弦AB與小圓交于點C、D，且AB=3CD，∠COD=60°．
（1）求大圓半徑的長；
（2）若大圓的弦AE與小圓切于點F，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）求大圓的半徑，需通過構建直角三角形求解．連接OA，取AB的中點M，連接OM；在構建的Rt△OAM中，OM的長可在等邊△OCD中求出，而AB=3CD=6，因此AM=3；根據勾股定理可求出OA即大圓的半徑長．
（2）連接OF，由切線的性質知：OF⊥AE；根據垂徑定理可得AF=AE；
由于AC=CD=2，可用切割線定理求出AF的長，進而可求出AE的長．
解答：解：（1）如圖，在小圓中；
∵CO=DO，∠COD=60°；
∴△COD是等邊三角形；
取CD的中點M，連接OM，則OM⊥CD；
∵CO=2，
∴OM=CO=．
連接AO，在Rt△AOM中，AM=CD=3；
∴AO===2．
即大圓的半徑長為2．

（2）連接OF．
∵AE是小圓的切線，且切點為F；
∴OF⊥AE．
又∵AE為大圓的弦，
∴AE=2AF．
由切割線定理，有：AF²=AC•AD；
∵AC=AD=2，AD=2CD，
∴AF=2；
∴AE=2AF=4．
點評：本題主要考查了垂徑定理、解直角三角形和切割線定理．求圓的弦長等問題一般要轉化為解直角三角形的問題．