Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC，AB分別交于點D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若AD=BD=2，求⊙O的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OD．證直線與圓相切，即證BD⊥OD．由∠CBD+∠CDB=90°，∠CBD=∠A=∠ODA，可得∠ODA+∠CDB=90°．根據平角定義得證；（2）即求圓的半徑求解．連接DE，則∠ADE=90°．在Rt△BCA中，∠CDB=∠A=∠ABD，得∠A=30°．從而在△ADE中利用三角函數求解．

解答：解：（1）直線BD與⊙O相切．                         （1分）
證明：如圖1，連接OD．                              （2分）
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．                             （3分）
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A，（5分）
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°．
∴直線BD與⊙O相切．                                （6分）

（2）連OD、DE．
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA．                                      （7分）
在Rt△BDC中，
∵∠C=90°，∠CBD=∠A=∠DBA，
∴3∠A=90°，即有∠A=30°．                        （8分）
由tan∠A=

DE

AD

，得DE=AD•tan30°=2×

3

3

=

2 3

3

．（10分）
又∠DOE=60°，OD=OE，
∴△DOE為等邊三角形，
∴OD=DE=

2 3

3

．                                  （10分）
即⊙O的半徑r=OD=

2 3

3

，
故⊙O的面積S=πr2=

4π

3

．                           （12分）

點評：本題考查了切線的判定，解直角三角形等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．