Question

若一直角三角形的斜邊長為c，內切圓半徑是r，則內切圓的面積與三角形面積之比是（　　）

• A、

  πr

  c+2r

• B、

  πr

  c+r

• C、

  πr

  2c+r

• D、

  πr

  c2+r2

Answer 1

分析：連接內心和直角三角形的各個頂點，設直角三角形的兩條直角邊是a，b．則直角三角形的面積是

a+b+c

2

r；又直角三角形內切圓的半徑r=

a+b-c

2

，則a+b=2r+c，所以直角三角形的面積是r（r+c）；因為內切圓的面積是πr²，則它們的比是

πr

c+r

．

解答：解：設直角三角形的兩條直角邊是a，b，則有：
S=

a+b+c

2

r，
又∵r=

a+b-c

2

，
∴a+b=2r+c，
將a+b=2r+c代入S=

a+b+c

2

r得：S=

2r+2c

2

r=r（r+c）．
又∵內切圓的面積是πr²，
∴它們的比是

πr

c+r

．
故選B．

點評：此題要熟悉直角三角形的內切圓半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半，能夠把直角三角形的面積分割成三部分，用內切圓的半徑進行表示，是解題的關鍵．