Question

如圖，已知A為∠POQ的邊OQ上一點，以A為頂點的∠MAN的兩邊分別交OP于M、N兩點，且∠MAN＝∠POQ＝α(α為銳角)．當∠MAN以點A為旋轉點中心，AM邊從與AO重合的位置開始，按逆時針方向旋轉(∠MAN保持不變)時，M、N在射線OP上同時以不同的速度向右平行移動．設OM＝x，ON＝y(y＞x≥0)，△AOM面積為S，若cosα、OA是方程2z²－5z＋2＝0的兩個根．

(1)當∠AMN旋轉(即∠OAM＝)時，求點N移動的距離；

(2)求證：AN²＝ON·MN；

(3)求y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍；

(4)試寫出S隨x變化的函數關系式，并確定S的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：解方程2z2－5z＋2＝0得：z1＝，z2＝2 　　∵α為銳角，∴OA＝2，cosα＝ 　　∴α＝即　　∠POQ＝∠MAN＝ 　　∴初始狀態時，△AON為等邊三角形 　　∴ON＝OA＝2 　　如圖，當AM旋轉到時，點N移動到 　　∵＝，∠POQ＝＝ 　　∴＝ 　　在中，＝2AO＝2×2＝4 　　∴＝－ON＝4－2＝2 　　∴點N移動的距離為2 　　(2)在△OAN和△AMN中，∠AON＝∠MAN＝，∠ONA＝∠ANM 　　∴∠OAN∽△AMN 　　∴＝即AN2＝ON·MN 　　(3)∵MN＝ON－OM＝y－x 　　∴AN2＝ON·MN＝y(y－x)＝y2－xy 　　過A點作AD⊥OP，垂足為D 　　在Rt△OAD中，OD＝OA·＝2×＝1 　　AD＝OA·＝ 　　∴DN＝ON－OD＝y－1 　　在Rt△AND中，AN2＝AD2＋DN2＝()2＋(y－1)2＝y2－2y＋4 　　∴y2－xy＝y2－2y＋4 　　整理，得y＝ 　　∵y＞0∴2－x＞0，即x＜2 　　又∵x≥0∴x的取值范圍是：0≤x＜2 　　(4)在△OAM中，OM邊上的高AD為 　　∴S＝·OM·AD＝·x·＝x 　　∵S是x的正比例函數，且比例系數＞0， 　　∴0≤S＜×2，即0≤S＜