Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)P（﹣3，4）為圓心的⊙P與y軸相切，A是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過A點(diǎn)的直線與⊙P相切于點(diǎn)B，以AB為邊作正方形ABCD，則正方形ABCD面積的最小值為_____．

Answer 1

【答案】7．

【解析】

由切線的性質(zhì)得到PB⊥AB，則在直角△APB中，AB2=AP2-PB2，PB=3為定值，欲求正方形ABCD面積即AB2的最小值，只需AP取最小值即可，當(dāng)AP⊥x軸時(shí)，AP最小，則易得正方形ABCD面積的最小值．

解：∵以點(diǎn)P（-3，4）為圓心的⊙P與y軸相切，
∴⊙P的半徑為3．
如圖，連接AP、PB．
∵AB與⊙P相切且點(diǎn)B為切點(diǎn)，
∴PB⊥AB，則在直角△APB中，AB2=AP2-PB2，即AB2=AP2-9．
∵PB=3為定值，
∴當(dāng)AP取最小值時(shí)，AB的值最小．當(dāng)AP⊥x軸時(shí)，AP最小，此時(shí)AP=4，
∴AB2=42-9=7．
∴正方形ABCD面積的最小值=AB2=7．
故答案是：7．