Question

如圖，直線l₁：y=4x與直線相交于點A，l₂與x軸相交于點B，OC⊥l₂，AD⊥y軸，垂足分別為C、D．動點P以每秒1個單位長度的速度從原點O出發沿線段OC向點C勻速運動，連接DP．設點P的運動時間為t（秒），DP²=S（單位長度²）．
（1）求點A的坐標；
（2）求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）在點P的運動過程中，DP能否為？若能，求出此時的t值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線l₁：y=4x與直線l₂：y=-x+相交于點A，聯立可得方程組：，解此方程組即可求得點A的坐標；
（2）由OC⊥l₂，即可求得直線OC的解析式，由OP=t，即可求得點P的坐標，由兩點式，即可求得DP²的值，聯立直線OC與直線l₂：y=-x+，即可求得點C的坐標，即可求得OC的長，即可得t的取值范圍；
（3）由DP=4與（2）中S與t的函數關系式，可得方程S=t²-6t+25=32，解此方程，又由0≤t≤4，即可判定點P的運動過程中DP不能為4．
解答：解：（1）∵直線l₁：y=4x與直線l₂：y=-x+相交于點A，
∴可得方程組：，
解得：，
∴點A的坐標為（，5）；

（2）∵點A的坐標為（，5），
∴D（0，5），
∵OC⊥l₂，直線l₂的斜率為-，
∴直線OC的斜率為，
∴直線OC的解析式為：y=x，
聯立直線OC與直線l₂：y=-x+，可得方程組：，
解得：，
∴點C的坐標為（，），
∴OC==4，
∵OP=t（0≤OP≤OC），
過點P作PE⊥OB于E，
∵tan∠POE=，
∴cos∠POE=，sin∠POE=，
∴P點的坐標為（t，t），
∴DP²=（t-0）²+（t-5）²=t²-6t+25，
∴S與t的函數關系為S=t²-6t+25（0≤t≤4）；

（3）不能；
理由：若DP=4，
則S=DP²=（4）²=32，
即S=t²-6t+25=32，
解得：t=7或t=-1（舍去），
∵0≤t≤4，
∴t=7不符合題意，
∴點P的運動過程中DP不能為4．
點評：此題屬于一次函數的綜合題，考查了待定系數求一次函數解析式，兩點式、函數交點問題以及方程組的解法．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．